몬테카를로 시뮬레이션으로 풀 수 있는 문제들

핵심 요약

• 몬테카를로 시뮬레이션은 무작위성과 대수의 법칙을 이용해 과학·공학 문제를 푸는 기법으로, 제2차 세계대전 후 핵무기 시뮬레이션에서 처음 기록됐다.
• 원판에 화살을 던져 π값을 추정하는 고전적 예시에서, 원 안에 맞은 화살의 비율로 π≈4×(안쪽/전체)로 계산하지만 샘플 수가 적으면 오차가 크다.
• 독립 시행에서 오차는 1/√N에 비례하므로 오차를 절반으로 줄이려면 샘플 수를 4배로 늘려야 한다.
• π 추정은 정적분 계산 형태의 수치적분 문제이며, 몬테카를로 방법은 고차원 적분에서 특히 유용하다.
• 게임 SET에서 12장의 카드 중 세트가 없을 확률을 구하는 문제는 약 70조 가지 조합을 확인해야 하므로 분석적으로 풀기 어렵지만, 몬테카를로 방법으로 1000만 회 시뮬레이션 시 약 3.23%로 정확히 추정된다.
• 15장 손패로 문제를 확장해도 매개변수 하나만 조정하면 신뢰할 수 있는 답(약 0.037%)을 얻을 수 있다.
• 퇴직 포트폴리오 분석에서 단순히 평균 수익률 4%, 인플레이션 2%만 가정하면 100만 달러로 연 3만 달러를 인출할 경우 약 55년 동안 자금이 지속되는 것으로 보인다.
• 하지만 실제로는 수익률과 인플레이션의 편차, 연 수익의 순서 효과(나쁜 해 다음 좋은 해 vs 계속 좋은 해의 차이) 등이 크게 작용한다.
• 역사 데이터 기반 정규분포에서 뽑은 값으로 100만 회 시뮬레이션하면, 25%의 경우 약 22년 후 자금이 소진되고, 30년 지속 확률은 약 60%로 나타난다.
• 평균 가정만으로는 퇴직 계획이 평균치보다 훨씬 더 위험해 보이며, 불확실성이 큰 금융·경제 영역에서 몬테카를로 시뮬레이션은 오차 범위를 포함한 신뢰할 수 있는 추정을 제공한다.
• 회사 매출 예측, 성장 전망, 주식 공모 가격 등 다양한 금융 의사결정에도 광범위하게 적용되고 있다.